Disciplina Discipline MAC6920
Métodos Numéricos de Álgebra Linear

Numerical Methods in Linear Algebra

Área de Concentração: 45134

Concentration area: 45134

Criação: 14/06/2022

Creation: 14/06/2022

Ativação: 14/06/2022

Activation: 14/06/2022

Nr. de Créditos: 8

Credits: 8

Carga Horária:

Workload:

Teórica

(por semana)

Theory

(weekly)

Prática

(por semana)

Practice

(weekly)

Estudos

(por semana)

Study

(weekly)

Duração Duration Total Total
4 4 2 12 semanas 12 weeks 120 horas 120 hours

Docentes Responsáveis:

Professors:

Ernesto Julian Goldberg Birgin

Walter Figueiredo Mascarenhas

Objetivos:

Apresentar os conceitos básicos da resolução numérica de sistemas de equações lineares e problemas de autovalores.

Justificativa:

A resolução de sistemas lineares e o cálculo de autovalores e autovetores são problemas que aparecem com frequência nas ciências aplicadas, seja tanto como um problema fim quanto como subproblemas mais complexos. Nesta disciplina são estudadas aplicações, teoria e algoritmos da resolução de sistemas lineares e o cálculo de autovalores e autovetores.

Conteúdo:

1. Eliminação Gaussiana e variantes: Sistemas de equações lineares. Sistemas triangulares. Sistemas definidos positivos, decomposição de Cholesky. Eliminação Gaussiana e decomposição LU. Eliminação Gaussiana com pivoteamento. 2. Sensibilidade de sistemas lineares: Normas de matrizes e vetores. Número de condição. Análise do erro de arredondamento. Eliminação Gaussiana com matrizes mal condicionadas. Escalamento. Refinamentos iterativos. 3. Matrizes ortogonais e o problema de quadrados mínimos: O problema de quadrados mínimos discreto. Matrizes ortogonais, rotações e reflexões. Solução do problema de quadrados mínimos. Vetores ortonormais e o método de Gram-Schimdt. Sensibilidade do problema de quadrados mínimos. 4. Autovalores e autovetores: Propriedades básicas. O método da potência e algumas extensões simples. Transformações de similaridade. Reduções à forma Hessenberg e triangular. Algoritmo QR. 5. Decomposição em valores singulares: Cálculo da decomposição SVD. Algumas aplicações básicas de valores singulares.

Content:

1. Eliminação Gaussiana e variantes: Sistemas de equações lineares. Sistemas triangulares. Sistemas definidos positivos, decomposição de Cholesky. Eliminação Gaussiana e decomposição LU. Eliminação Gaussiana com pivoteamento. 2. Sensibilidade de sistemas lineares: Normas de matrizes e vetores. Número de condição. Análise do erro de arredondamento. Eliminação Gaussiana com matrizes mal condicionadas. Escalamento. Refinamentos iterativos. 3. Matrizes ortogonais e o problema de quadrados mínimos: O problema de quadrados mínimos discreto. Matrizes ortogonais, rotações e reflexões. Solução do problema de quadrados mínimos. Vetores ortonormais e o método de Gram-Schimdt. Sensibilidade do problema de quadrados mínimos. 4. Autovalores e autovetores: Propriedades básicas. O método da potência e algumas extensões simples. Transformações de similaridade. Reduções à forma Hessenberg e triangular. Algoritmo QR. 5. Decomposição em valores singulares: Cálculo da decomposição SVD. Algumas aplicações básicas de valores singulares.

Forma de Avaliação:

Método: Provas e tarefas que podem ou não envolver programação. Critério: Média ponderada de provas e tarefas. Norma de recuperação: Média ponderada da nota f

Bibliografia:

U. M. Ascher e C. Greif, A First Course in Numerical Methods, SIAM, Philadelphia, PA, 2011. J. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, PA, 1997. G. H. Golub e C. F. Van Loan, Matrix Computations, fourth edition, The John Hopkins Universy Press, Baltimore, MD, 2013. M. Overton, Numerical computing with IEEE floating point arithmetic, SIAM, Philadelphia, PA, 2001. L. N. Trefethen e D. Bau III, Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, PA, 1997. D. S. Watkins, Fundamentals of Matrix Computations, third edition, Wiley, New York, NY, 2010

Bibliography:

U. M. Ascher e C. Greif, A First Course in Numerical Methods, SIAM, Philadelphia, PA, 2011. J. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, PA, 1997. G. H. Golub e C. F. Van Loan, Matrix Computations, fourth edition, The John Hopkins Universy Press, Baltimore, MD, 2013. M. Overton, Numerical computing with IEEE floating point arithmetic, SIAM, Philadelphia, PA, 2001. L. N. Trefethen e D. Bau III, Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, PA, 1997. D. S. Watkins, Fundamentals of Matrix Computations, third edition, Wiley, New York, NY, 2010

Idiomas ministrados:

Português

Languages taught:

Portuguese

Tipo de oferecimento da disciplina:

Presencial

Class type:

Presencial