Disciplina Discipline MAE5823
Cálculo Estocástico

Stochastic Calculus

Área de Concentração: 45133

Concentration area: 45133

Criação: 21/10/2016

Creation: 21/10/2016

Ativação: 21/10/2016

Activation: 21/10/2016

Nr. de Créditos: 8

Credits: 8

Carga Horária:

Workload:

Teórica

(por semana)

Theory

(weekly)

Prática

(por semana)

Practice

(weekly)

Estudos

(por semana)

Study

(weekly)

Duração Duration Total Total
4 2 4 12 semanas 12 weeks 120 horas 120 hours

Docente Responsável:

Professor:

Vladimir Belitsky

Objetivos:

Introduzir as Equações Diferenciais Estocásticas como uma ferramenta para a modelagem e a solução de problemas práticos, e, por meio de construção e análise das mesmas, apresentar os conceitos e métodos da Teoria de Probabilidade contemporânea, como os martingais e o Movimento Browniano.

Objectives:

To introduce the Stochastic Differential Equations as a tool for modelling and solving problems from real world. To introduce and discuss methods and concepts from the contemporary Probability Theory (such as the Martingale Theory and the Brownian Motion) related to the construction and analysis of these equations.

Justificativa:

Martingais, Movimento Browniano, Integração de Itô e Equações Diferenciais Estocásticas são os temas obrigatórios na formação dos pós-graduandos em Estatística e Probabilidade. Entretanto, alunos de outros programas de pós-graduação poderão usufruir da disciplina devido a intensa e bem-sucedida aplicação das equações diferenciais estocásticas no controle de processos complexos que surgem em diversas áreas de produção e na indústria financeira.

Rationale:

For the students at the post-graduate studies program offered by the Department of Statistics of IME-USP, it is essential that they master the topics Martingales, Brownian Motion, Itô Integration and Stochastic Differential Equations that are offered by this course. As for students coming from other post-graduate programs, the course will offer tools that may be used in their research areas when they face the necessity of modellig and analyzing complex stochastic systems.

Conteúdo:

Passeios Aleatórios, Convergência de variáveis aleatórias, Martingais, Movimento Browniano, Construção da Integral Estocástica, Fórmula de Itô, Equações Diferenciais Estocásticas, Equação de Difusão, Fórmula de Girsanov, Fórmula de Black-Scholes, Fórmula de Feynman-Kac.

Content:

1. Random walks. 2. Convergence of random variables. 3. Martingais. 4. Brownian Motion. 5. Construction of the Stochastic Integral. 6. Itô formula. 7. Stochastic Differential Equations. 8. Diffusion equation. 9. Girsanov formula. 10. Black-Scholes formula. 11. Feyman-Kac formula.

Forma de Avaliação:

Lista de Exercícios e Provas.

Type of Assessment:

Lists of exercises and Exams.

Observação:

É aconselhável que o livro-texto principal da disciplina seja "Stochastic Claculus and Financial Applications". O conteúdo desse e sua sequência de apresentação são muito próximos aos da disciplina; a exposição de suas demonstrações está adequada aos conhecimentos dos alunos que cursaram "Probabilidade Avançada I" e "Probabilidade Avançada II" oferecidas no programa de pós-graduação em Estatística, enquanto que os alunos de outros programas, que não cursaram estas disciplinas, acharão neste livro exemplos explicativos e simples que ilustram as ideias principais de demosntrações.

Notes/Remarks:

We suggest that the course follows the text-book "Stochastic Calculus and Financial Applications" because the contents and the exposition sequence of the text-book are very close to those of the course, and because the background necessary for following the text-book is contained in the courses "Advanced Probability I" and "Advanced Probability II" that are offered by the post-graduate program of the Department of Statistics of IME-USP. On the other hand, those students who take the course without a prior passing through the courses "Advanced Probability I" and "Advanced Probability II" will find in the text-book a series of illustrative examples adequate for their knowledge level.

Bibliografia:

[1] J. Michael Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer, 2010. [2] Thomas Mikosch, Elementary Stochastic Calculus with Finance in View, Advanced Series on Statistical Science & Applied Probability, Vol 6, 1998. [3] I. Karatzas and S. E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer-Verlag, 1991. [4] Fima Klebaner, Introduction to Stochastic Calculus with Application, Imperial College Press, 2005 (second edition). [5] Lawrence C. Evans, An Introduction to Stochastic Differential Equations, AMS, 2014.

Bibliography:

[1] J. Michael Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer, 2010. [2] Thomas Mikosch, Elementary Stochastic Calculus with Finance in View, Advanced Series on Statistical Science & Applied Probability, Vol 6, 1998. [3] I. Karatzas and S. E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer-Verlag, 1991. [4] Fima Klebaner, Introduction to Stochastic Calculus with Application, Imperial College Press, 2005 (second edition). [5] Lawrence C. Evans, An Introduction to Stochastic Differential Equations, AMS, 2014.