Disciplina Discipline MAP5707
Espaços de Hilbert e Equações Diferenciais Parciais

Hilbert Spaces and Partial Differential Equations

Área de Concentração: 45132

Concentration area: 45132

Criação: 09/12/2021

Creation: 09/12/2021

Ativação: 09/12/2021

Activation: 09/12/2021

Nr. de Créditos: 8

Credits: 8

Carga Horária:

Workload:

Teórica

(por semana)

Theory

(weekly)

Prática

(por semana)

Practice

(weekly)

Estudos

(por semana)

Study

(weekly)

Duração Duration Total Total
4 2 4 12 semanas 12 weeks 120 horas 120 hours

Docente Responsável:

Professor:

Pedro Tavares Paes Lopes

Objetivos:

O curso tem como meta introduzir conceitos de análise funcional visando aplicações concretas ao estudo de EDPs. Não é um curso padrão de análise funcional, já que não temos a intenção de fazer uma apresentação de todos os tópicos geralmente apresentados nestes cursos. Nosso objetivo é fazer uma apresentação mais curta, porém completa, dos resultados da teoria de espaços de Hilbert separáveis necessários para lidar de forma rigorosa com as equações diferenciais parciais (EDPs) lineares consagradas: Laplace, calor e onda. Essas aplicações, em geral, não são vistas nos cursos introdutórios de análise funcional.

Justificativa:

Nosso intuito é oferecer um curso para que alunos de diversas áreas adquiram um conhecimento mínimo de análise funcional e, ao mesmo tempo, saibam como esses conceitos podem ser aplicados. O material estudado deve auxiliar os alunos que forem trabalhar com EDPs (e EDPs numéricas) a darem os primeiros passos em seus projetos de pesquisa.

Conteúdo:

Conteúdo: 1) Espaços de Hilbert separáveis: Base ortonormal, Projeção ortonormal, funcionais lineares e funções bilineares contínuas (Teorema de Riesz e de Lax-Milgram), Convergência forte e fraca, Operadores limitados e compactos, Teorema espectral para operadores auto-adjuntos e compactos. 2) Espaços L2. Aplicação: série e transformada de Fourier. 3) Espaços de Sobolev Hk, k ∈ N0, em intervalos de R. Aplicação: problema de Sturm-Liouville. 4) Espaços de Sobolev Hk, k ∈ N0, em abertos de Rn. Aplicação: problema de Poisson com condições de Dirichlet (usaremos a formulação variacional). 5) Operadores auto-adjuntos com resolvente compacto. Aplicação: equação do calor e da onda.

Forma de Avaliação:

A avaliação será realizada através de seminários, projetos e provas. A nota final será calculada pela média aritmética M das médias obtidas pelo aluno em cada instrumento de avaliação. Nas duas primeiras semanas de aula o docente fixará as datas e o número de provas, projetos e seminários, assim como o critério de atribuição do conceito final.

Type of Assessment:

The evaluation will be carried out through seminars, projects and tests. The final grade will be calculated by the arithmetic mean M of the means obtained by the student in each assessment instrument. In the first two weeks of class, the teacher will set the dates and number of tests, projects and seminars, as well as the criteria for attributing the final letter grade.

Observação:

O Departamento de Matemática Aplicada já oferece um curso com uma ementa parecida: MAP5912 Análise Funcional e Operadores Lineares Aplicados. O curso existente MAP5912 é mais completo e apresenta teoremas e conceitos importantes como HahnBanach, espaços Lp e espaços reflexivos. Nossa proposta aqui é similar. A grande diferença é a nossa restrição aos espaços de Hilbert separáveis. Isso deve tornar o curso mais simples e acessível a alunos de diferentes áreas (dinâmica, modelagem, otimização e etc), além de disponibilizar mais tempo para o estudo de aplicações. Lembramos que diversos trabalhos na área de EDP podem ser feitos usando apenas esses espaços.

Bibliografia:

1) H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer. 2) L. Evans, Partial Differential Equations, AMS.

Bibliography:

1) H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer. 2) L. Evans, Partial Differential Equations, AMS.

Tipo de oferecimento da disciplina:

Presencial

Class type:

Presencial