Área de Concentração: 45132

Concentration area: 45132

Criação: 15/12/2020

Creation: 15/12/2020

Ativação: 15/12/2020

Activation: 15/12/2020

Nr. de Créditos: 8

Credits: 8

Carga Horária:

Workload:

Docente Responsável:

Professor:

André Salles de Carvalho

Objetivos:

Desenvolver os resultados básicos da teoria topológica e geométrica de 3-variedades.

Objectives:

To develop basic results concerning the topology and geometry of 3-manifolds.

Justificativa:

A topologia foi uma das áreas da matemática iniciadas por Poincaré entre o final do século XIX e início do século XX. Poincaré conjecturou que uma 3-variedade compacta e simplesmente conexa é homeomorfa à 3-esfera. Esta conjectura só foi provada 100 anos mais tarde, no início do século XXI. Entre sua proposição por Poincaré e a prova de Perelman, passando pelo trabalho revolucionário de Thurston, muitas técnicas e teoremas de grande beleza foram criados. O propósito do curso é introduzir os conceitos mais importantes desta teoria.

Rationale:

Topology was one of the areas of mathematics started off by Poincaré and others around the turn of the 20th century. Poincaré conjectured that a simply connected compact 3-manifold without boundary must be homeomorphic to the 3-sphere. This conjecture was only proved 100 years later, at the beginning of the 21st century. In the time between Poincaré's formulation of the conjecture and Perelman's proof, many techniques and theorems of outstanding beauty were established, including the revolutionary work of Thurston. The goal of this course is to introduce the most important concepts of this theory.

Conteúdo:

1. Noções básicas da topologia de 3-variedades; propriedades topológicas e geométricas da 3-esfera. 2. Construções básicas de 3-variedades: triangulações, colagem de poliedros, partições de Heegaard; exemplos de 3-variedades e estruturas geométricas nelas. 3. Decomposição de 3-variedades o operações nelas: soma conexa, variedades primas e irreducíveis; decomposições de JSJ. 4. Os nós e enlaces na 3-esfera; teoria diagramática e movimentos de Reidemeister; complementes dos nós; o teorema de Gordon-Luecke. 5. Construções avançadas de 3-variedades: cirurgia sobre enlaces, teorema de Lickorish-Wallace, cálculo de Kirby; variedades fibradas de Seifert. 6. Geometrização e a Conjectura de Poincaré.

Content:

1. Basic notions of 3-manifold topology; topological and geometric properties of the 3-sphere. 2. Basic constructions of 3-manifolds: triangulations, gluings of polyhedra, Heegaard splittings; examples of 3-manifolds and geometric structures on them. 3. Decompositions of 3-manifolds and operations on them: connected sum, prime and irreducible manifolds; the JSJ decomposition. 4. Knots and links in the 3-sphere; diagrammatic theory and Reidemeister moves; knot complements; Gordon-Luecke Theorem. 5. Advanced constructions of 3-manifolds: surgery on links, the Lickorish-Wallace Theorem, Kirby calculus; Seifert-fibered manifolds. 6. Geometrization and the Poincaré Conjecture.

Forma de Avaliação:

Seminários ministrados pelos alunos sobre temas relacionados aos assuntos tratados no curso.

Type of Assessment:

Seminar talks given by students on subjects related to the content of the course.

Bibliografia:

Hatcher, A. "Notes on basic 3-manifold topology," publicado online, 2007. Hempel, J. "3-manifolds," Princeton University Press, 1976. Lickorish, R. "An introduction to knot theory," GTM vol. 175, Springer Science & Business Media, 2012. Saveliev, N. "Lectures on the topology of 3-manifolds: an introduction to the Casson invariant," Walter de Gruyter, 2011. Schultens, J. "Introduction to 3-manifolds," American Mathematical Society, 2014. Thurston, W.P. "Three-Dimensional Geometry and Topology," Vol. 1, Princeton University Press, 1997.

Bibliography:

Hatcher, A. "Notes on basic 3-manifold topology," publicado online, 2007. Hempel, J. "3-manifolds," Princeton University Press, 1976. Lickorish, R. "An introduction to knot theory," GTM vol. 175, Springer Science & Business Media, 2012. Saveliev, N. "Lectures on the topology of 3-manifolds: an introduction to the Casson invariant," Walter de Gruyter, 2011. Schultens, J. "Introduction to 3-manifolds," American Mathematical Society, 2014. Thurston, W.P. "Three-Dimensional Geometry and Topology," Vol. 1, Princeton University Press, 1997.

Tipo de oferecimento da disciplina:

Presencial

Class type:

Presencial