Disciplina Discipline MAT5706
Tópicos em prime gaps

Topics in prime gaps

Área de Concentração: 45131

Concentration area: 45131

Criação: 25/10/2019

Creation: 25/10/2019

Ativação: 12/11/2019

Activation: 12/11/2019

Nr. de Créditos: 1

Credits: 1

Carga Horária:

Workload:

Teórica

(por semana)

Theory

(weekly)

Prática

(por semana)

Practice

(weekly)

Estudos

(por semana)

Study

(weekly)

Duração Duration Total Total
10 0 5 1 semanas 1 weeks 15 horas 15 hours

Docentes Responsáveis:

Professors:

Hugo Luiz Mariano

Luan Alberto Ferreira

Objetivos:

Desenvolver junto com estudantes alguns tópicos da teoria dos prime gaps, em particular aqueles relacionados com a distribuição dos números primos. Apresentar aos discentes alguns resultados expressivos nesta área, assim como um possível método de generalização de alguns resultados clássicos.

Objectives:

Develop with the students some topics in the theory of prime gaps, in particular those related to the distribution of prime numbers. Present to the students some expressive results in this area, as a possible method of generalization of some classic results.

Justificativa:

A teoria dos números primos, e, de maneira mais geral, a teoria dos números, é muitas vezes reconhecida como uma das mais belas e fascinantes áreas da matemática, sendo também capaz de desenvolver (ou aumentar) o interesse de estudantes em matemática desde muito cedo. A proposta deste curso visa ratificar este ponto de vista ao oferecer ao estudante a possibilidade de conhecer de maneira um pouco mais minuciosa esta parte da matemática.

Rationale:

Prime number theory, and more generally number theory, is often recognized as one of the most beautiful and fascinating areas of mathematics, and is also able to develop (or increase) students' interest in mathematics from an early age. The purpose of this course is to ratify this point of view by offering the student the opportunity to learn a little more about this part of mathematics.

Conteúdo:

1. Valoração p-ádica; o teorema de Bertrand-Chebyshev; consequências. 2. O teorema dos números primos: enunciado e consequências; o TNP com fórmula de erro de de la Vallée-Poussin; a demonstração de D. J. Newman. 3. Uma ideia de generalização da prova de Newman: o lema da integral, a limitação da função-peso e a mudança de variável. 4. A transformada de Laplace e a função zeta associada.

Content:

1. p-adic valuation; Bertrand-Chebyshev theorem; consequences. 2. The Prime Number Theorem: statement and consequences; The PNT with de la Vallée-Poussin’s error term; D. J. Newman’s ingenious proof. 3. An idea to generalize Newman's proof: the integral's lemma, the limitation of the weight function and the change of variables. 4. Laplace transform and the zeta function associated.

Forma de Avaliação:

Presença

Observação:

Bibliografia:

1. P. Erdös. Beweis eines Satzes von Tschebyschef. Acta Sci. Math. (Szeged), 5:3-4 (1930 - 32), 194-198. 2. D. J. Newman. Simple Analytic Proof of the Prime Number Theorem. The American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 9 (Nov., 1980), 693-696. 3. D. Zagier. Newman’s Short Proof of the Prime Number Theorem. The American Mathematical Monthly, Vol. 104, No. 8 (Oct., 1997), 705-708. 4. G. J. O. Jameson. The Prime Number Theorem. London Mathematical Society Student Texts 53. Cambridge University Press, 2003. 264 p. 5. Ciarán O’Rourke. The prime number theorem: Analytic and elementary proofs. Masters thesis, National University of Ireland Maynooth (2013), 120 p. 6. J. Barkley Rosser; Lowell Schoenfeld. Approximate formulas for some functions of prime numbers. Illinois J. Math., Volume 6, Issue 1 (1962), 64-94. 7. Tibor Salát; Stefan Znám. On sums of the prime powers. Acta Fac. Rer. Nat. Univ. Com. Math., 21 (1968), 21-24. 8. Eric Bach; Jeffrey Shallit. Algorithmic number theory, Vol. 1: Efficient Algorithms. Foundations of Computing. The MIT Press, 1996. 496 p. 9. Hua Loo Keng. Introduction to Number Theory. Translated from the Chinese by Peter Shiu. SpringerVerlag, New York, 1982. xviii + 572 p. 10. József Sándor; Dragoslav S. Mitrinovic; Borislav Crstici. Handbook of Number Theory I. Mathematics and Its Applications 351. Springer, 1st edition, 1995. 648 p.

Bibliography:

1. P. Erdös. Beweis eines Satzes von Tschebyschef. Acta Sci. Math. (Szeged), 5:3-4 (1930 - 32), 194-198. 2. D. J. Newman. Simple Analytic Proof of the Prime Number Theorem. The American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 9 (Nov., 1980), 693-696. 3. D. Zagier. Newman’s Short Proof of the Prime Number Theorem. The American Mathematical Monthly, Vol. 104, No. 8 (Oct., 1997), 705-708. 4. G. J. O. Jameson. The Prime Number Theorem. London Mathematical Society Student Texts 53. Cambridge University Press, 2003. 264 p. 5. Ciarán O’Rourke. The prime number theorem: Analytic and elementary proofs. Masters thesis, National University of Ireland Maynooth (2013), 120 p. 6. J. Barkley Rosser; Lowell Schoenfeld. Approximate formulas for some functions of prime numbers. Illinois J. Math., Volume 6, Issue 1 (1962), 64-94. 7. Tibor Salát; Stefan Znám. On sums of the prime powers. Acta Fac. Rer. Nat. Univ. Com. Math., 21 (1968), 21-24. 8. Eric Bach; Jeffrey Shallit. Algorithmic number theory, Vol. 1: Efficient Algorithms. Foundations of Computing. The MIT Press, 1996. 496 p. 9. Hua Loo Keng. Introduction to Number Theory. Translated from the Chinese by Peter Shiu. SpringerVerlag, New York, 1982. xviii + 572 p. 10. József Sándor; Dragoslav S. Mitrinovic; Borislav Crstici. Handbook of Number Theory I. Mathematics and Its Applications 351. Springer, 1st edition, 1995. 648 p.