Área de Concentração: 45131

Concentration area: 45131

Criação: 05/08/2020

Creation: 05/08/2020

Ativação: 05/08/2020

Activation: 05/08/2020

Nr. de Créditos: 1

Credits: 1

Carga Horária:

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Docente Responsável:

Professor:

Hugo Luiz Mariano

Objetivos:

Investigar o conceito de interpretação, explorando resultados recentes de rigidez das interpretação em teoria de conjuntos realizados por Visser, Friedman, Enayat, Väänänen, Hamkins e Freire.

Objectives:

To investigate the concept of interpretation, exploring recent results on the rigidity of interpretations in set theories established by Visser, Friedman, Enayat, Väänänen, Hamkins e Freire.

Justificativa:

Interpretação é um conceito basilar no estudo dos fundamentos da matemática e foi introduzido pela primeira vez por Tarski como uma maneira sintática de tratar construções de modelos. Apesar disso, a familiaridade com a teoria de modelos obscureceu por muito tempo o interesse em investigar os mecanismos interpretativos por trás das construções. No entanto, resultados recentes sobre interpretações de teorias de conjuntos reavivaram o interesse neste tópico. As interpretações oferecem uma maneira uniforme de reduzir objetos de uma teoria para outra e, portanto, são uma maneira natural de argumentar uma relação de redução entre dois sistemas. Nesse sentido, os resultados recentes mostram que algumas construções de modelos não podem ser reformuladas como interpretações. E, por esse motivo, identificar reduções modelo-teóricas que não podem ser convertidas em interpretações se torna uma técnica importante para desmistificar a relação de redução entre alguns sistemas matemáticos.

Rationale:

Interpretation is a fundamental concept in the study of foundations of mathematics and was first introduced by Tarski as a syntactic way of treating model constructions. Despite this, familiarity with model theory has overshadowed for a long time the interest in investigating the interpretive mechanisms behind model-theoretical constructions. However, recent results on interpretations of set theories have revived interest in this topic. Interpretations offer a uniform way of reducing objects from one theory to another and are therefore a natural way of arguing a reduction relation between two systems. In this sense, recent results have shown that some model constructions cannot be rephrased as interpretations. And, for this reason, identifying model-theoretical reductions that cannot be converted into interpretations becomes an important technique in demystifying the reduction relation between some mathematical systems.

Conteúdo:

Modelos como interpretações. O colapso de Mostowski e a rigidez das interpretações. Construtíveis e forcing como interpretações. Solidez de ZF e interpretação mútua de modelos bem fundamentados. Modelos bi-interpretáveis de subsistemas ZF.

Content:

Models as interpretations. Mostowski collapse and the rigidity of interpretations. Constructibles and forcing as interpretations. ZF solidity and mutual interpretation of well-founded models. Bi-interpretable models of ZF subsystems.

Forma de Avaliação:

Bibliografia:

- Albert Visser. “Categories of theories and interpretations”. Utrecht University Repository, Logic Group Preprint Series 228 (2004). https://dspace. library.uu.nl/handle/1874/26909 . - Harvey M Friedman and Albert Visser. “When bi-interpretability implies synonymy”. Logic Group Preprint Series 320 (2014), pp. 1–19. - Ali Enayat. “Variations on a Visserian theme”. In: Liber Amicorum Alberti : a tribute to Albert Visser. Ed. by Jan van Eijck, Rosalie Iemhoff, and Joost J. Joosten. London: College Publications, March 2016, pp. 99–110. isbn: 978-1848902046. arXiv: 1702.07093[math.LO] . - Jouko Väänänen. “An extension of a theorem of Zermelo”. The Bulletin of Symbolic Logic 25.2 (2019), 208–212. issn: 1943-5894. doi: 10.1017/bsl. 2019.15 . http://dx.doi.org/10.1017/bsl.2019.15 . - Victoria Gitman, Joel David Hamkins, and Thomas A. Johnstone. “What is the theory ZFC without Powerset?” Math. Logic Q. 62.4–5 (2016), pp. 391–406. issn: 0942-5616. doi: 10 . 1002 / malq . 201500019 . arXiv: 1110 . 2430[math.LO] . http://jdh.hamkins.org/what-is-the-theory-zfc-without-power-set . - Joel David Hamkins and Daniel Seabold. “Well-founded Boolean ultrapowers as large cardinal embeddings” (2006), pp. 1–40. arXiv: 1206. 6075[math.LO] . http://jdh.hamkins.org/boolean-ultrapowers/ . - Adrian RD Mathias. “Slim models of Zermelo set theory”. The Journal of Symbolic Logic 66.2 (2001), pp. 487–496. - Freire, A. R., Hamkins, J. D. “Bi-interpretation in weak set theories”, to appear in The Journal of Symbolic Logic, arXiv preprint arXiv:2001.05262 (2020).

Bibliography:

- Albert Visser. “Categories of theories and interpretations”. Utrecht University Repository, Logic Group Preprint Series 228 (2004). https://dspace. library.uu.nl/handle/1874/26909 . - Harvey M Friedman and Albert Visser. “When bi-interpretability implies synonymy”. Logic Group Preprint Series 320 (2014), pp. 1–19. - Ali Enayat. “Variations on a Visserian theme”. In: Liber Amicorum Alberti : a tribute to Albert Visser. Ed. by Jan van Eijck, Rosalie Iemhoff, and Joost J. Joosten. London: College Publications, March 2016, pp. 99–110. isbn: 978-1848902046. arXiv: 1702.07093[math.LO] . - Jouko Väänänen. “An extension of a theorem of Zermelo”. The Bulletin of Symbolic Logic 25.2 (2019), 208–212. issn: 1943-5894. doi: 10.1017/bsl. 2019.15 . http://dx.doi.org/10.1017/bsl.2019.15 . - Victoria Gitman, Joel David Hamkins, and Thomas A. Johnstone. “What is the theory ZFC without Powerset?” Math. Logic Q. 62.4–5 (2016), pp. 391–406. issn: 0942-5616. doi: 10 . 1002 / malq . 201500019 . arXiv: 1110 . 2430[math.LO] . http://jdh.hamkins.org/what-is-the-theory-zfc-without-power-set . - Joel David Hamkins and Daniel Seabold. “Well-founded Boolean ultrapowers as large cardinal embeddings” (2006), pp. 1–40. arXiv: 1206. 6075[math.LO] . http://jdh.hamkins.org/boolean-ultrapowers/ . - Adrian RD Mathias. “Slim models of Zermelo set theory”. The Journal of Symbolic Logic 66.2 (2001), pp. 487–496. - Freire, A. R., Hamkins, J. D. “Bi-interpretation in weak set theories”, to appear in The Journal of Symbolic Logic, arXiv preprint arXiv:2001.05262 (2020).

Tipo de oferecimento da disciplina:

Presencial

Class type:

Presencial