Disciplina Discipline MAT5739
Teoria dos Conjuntos e Aplicações
Set Theory and Applications

Área de Concentração: 45131

Concentration area: 45131

Criação: 29/08/2022

Creation: 29/08/2022

Ativação: 29/08/2022

Activation: 29/08/2022

Nr. de Créditos: 8

Credits: 8

Carga Horária:

Workload:

Docentes Responsáveis:

Professors:

Artur Hideyuki Tomita

Hugo Luiz Mariano

Christina Brech

Rogerio Augusto dos Santos Fajardo

Objetivos:

Iniciar o estudo das relações entre sistemas formais para a teoria de conjuntos e suas interpretações.

Objectives:

Initiate the studying of the relations of formal systems for set theory and their interpretations.

Justificativa:

As técnicas apresentadas são úteis para algumas linhas de pesquisa em Análise Funcional e Topologia Geral. Do ponto de vista fundacional, o curso se justifica porque busca mostrar o quanto a compreensão preliminar dos conjuntos, presente nos trabalhos seminais de Cantor, Zermelo, Hilbert e outros, é capturada pelos sistemas formais.

Rationale:

The techniques presented in the subject are useful in some research fields of Functional Analysis and General Topology. Moreover, the subject is important to the foundations of mathematics, showing how the preliminary understanding of sets in the works and speeches of Cantor, Zermelo, Hilbert and others is captured by formal systems.

Conteúdo:

1) Revisão: os axiomas de Zermelo-Fraenkel; o axioma da escolha seus equivalentes; indução e recursão transfinitas; ordinais e aritmética ordinal.; cardinais; cofinalidade; cardinais regulares e singularidades; aritmética cardinal; a hipótese generalizada do contínuo. 2) Consistência e independência 1: modelos de ZFC; interpretação; absolutividade; princípios de reflexão; a classe dos construtíveis. 3) Consistência e independência 2: noções sobre forcing e/ou de modelos a valores booleanos. 4) Combinatória infinita: filtros e ideais; conjuntos estacionários; o axioma de Martin e suas aplicações em Topologia e Análise; árvores e linhas; o princípio diamante.

Content:

1) Review: the Zermelo-Fraenkel axioms; the axiom of choice and its equivalences; transfinite induction and recursion; ordinals and ordinal arithmetic.; cardinals; cofinality; regular and singular cardinals; cardinal arithmetic; the generalized continuum hypothesis. 2) Consistency and independence 1: ZFC models; interpretation; absoluteness; the reflection's principle; the constructible universe. 3) Consistency and independence 2: notions of forcing and/or boolean-valued models. 4) Infinite combinatorics: filters and ideals; stationary sets; Martin's axiom and its applications in Topology and Analysis; trees and lines; the diamond principle.

Forma de Avaliação:

A avaliação será realizada através de seminários, projetos e provas. A nota final será calculada pela média obtida pelo aluno nos instrumentos de avaliação. Nas duas primeiras semanas de aula o docente fixará as datas e o número de provas, projetos e seminários, assim como o critério de atribuição do conceito final.

Type of Assessment:

The evaluation will be carried out through seminars, projects and tests. The final grade will be calculated by mean obtained by the student in the assessment instrument. In the first two weeks of class, the teacher will set the dates and number of tests, projects and seminars, as well as the criteria for attributing the final letter grade.

Bibliografia:

1)Jech, T., Set Theory, Springer, 2003. 2)Levy, A., Basic Set Theory, Springer-Verlag, 1979. 3)Kunen, K., Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North Holland, 1980. 4)Drake, F. Set Theory: An Introduction to Large Cardinals , North Holland, 1974. 5)Shoenfield, J., Mathematical Logic, ASL, 2001.

Bibliography:

1)Jech, T., Set Theory, Springer, 2003. 2)Levy, A., Basic Set Theory, Springer-Verlag, 1979. 3)Kunen, K., Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North Holland, 1980. 4)Drake, F. Set Theory: An Introduction to Large Cardinals , North Holland, 1974. 5)Shoenfield, J., Mathematical Logic, ASL, 2001.

Tipo de oferecimento da disciplina:

Presencial

Class type:

Presencial