Disciplina Discipline MAT6654
Geometria Simplética
Symplectic Geometry

Área de Concentração: 45131

Concentration area: 45131

Criação: 21/12/2022

Creation: 21/12/2022

Ativação: 21/12/2022

Activation: 21/12/2022

Nr. de Créditos: 8

Credits: 8

Carga Horária:

Workload:

Docente Responsável:

Professor:

Cristian Andres Ortiz Gonzalez

Objetivos:

Introduzir os conceitos básicos da Geometria Simplética, incluindo suas conexões com outras áreas da Matemática e Física, incluindo: mecânica clássica, geometria complexa, teoria de representações, teorias de calibre, sistemas dinâmicos, entre outras. Além de apresentar os resultados clássicos da Geometria Simplética, o curso busca estudar generalizações da noção de variedade simplética e do conceito de simetria, incluindo: orbifolds simpléticos e 1-stacks simpléticos.

Objectives:

Introduce the basic concepts of symplectic geometry, including connections with other areas of mathematics and physics, such as: classical mechanics, complex geometry, representation theory, gauge theory, dynamical systems, among others. Besides the classical results, the course aims at studying generalizations of symplectic manifolds and their symmetries, including: symplectic orbifolds and 1-shifted symplectic stacks.

Justificativa:

A Geometria Simplética tem origem na formulação geométrica da mecânica clássica e é uma área de intensa pesquisa, mostrando conexões com outras áreas da Matemática e Física, incluindo: geometria complexa, geometria algébrica, sistemas dinâmicos, física matemática (quantização, teorias de calibre), topologia em dimensão 3 e 4, teoria de representações, teoria de Lie, entre outras. Devido à forte interação com outras áreas da matemática, esta disciplina oferece ferramentas para alunos de pós-graduação em matemática com interesse em alguma das três grandes áreas da matemática, i.e. álgebra, análise e geometria-topologia.

Rationale:

Symplectic geometry has its roots in the geometric formulation of classical mechanics and is a line with strong research activity, showing connections with other areas of mathematics and physics, including: complex geometry, algebraic geometry, dynamical systems, mathematical physics (quantization, gauge theory), topology in dimensions 3 and 4, representation theory, Lie theory, among others. Due to its strong interaction with other areas of mathematics, this course offers tools to graduate students whose interest are in any of the big areas of mathematics, i.e. algebra, analysis and geometry/topology.

Conteúdo:

- Álgebra linear simplética: espaços vetoriais simpléticos; subespaços; - Variedades simpléticas: definição; exemplos;simplectomorfismos; subvariedades, vizinhanças tubulares de subvariedades Lagrangianas; - Conexão com geometria Kahler: estruturas complexas; variedades Kahler e hiper-Kahler, fibrações de Lefschetz simpléticas; - Ações Hamiltonianas e moment maps: ações simpléticas, moment maps; redução de Marsden-Weinstein; aplicações (espaço de moduli de conexões planas, espaço de moduli de subvariedades Lagrangianas especiais); Teorema de convexidade de Atiyah-Guillemin-Sternberg; Teorema de Duistermaat-Heckman; - Geometria simplética em espaços singulares: orbifolds simpléticos, redução de Marsden-Weinstein, orbifolds simpléticos tóricos; - Introdução aos stacks simpléticos: grupoides quasi-simpléticos e 1-stacks simpléticos.

Content:

-Symplectic linear algebra: symplectic vector spaces, subspaces; - Symplectic manifolds: definition; examples; symplectomorphisms; submanifolds, tubular neighborhoods of Lagrangian submanifolds; - Kahler geometry: complex structures, Kahler and hyper-Kahler manifolds, symplectic Lefschetz fibrations; - Hamiltonian actions and moment maps: symplectic actions, moment maps, Marsden-Weinstein reduction; applications (moduli space of flat connections, moduli space of special Lagrangian submanifolds); Atiyah-Guillemin-Sternberg Convexity Theorem, Duistermaat-Heckman theorem; - Symplectic geometry on singular spaces: symplectic orbifolds, Marsden-Weinstein reduction, toric symplectic orbifolds; - Introduction to symplectic stacks: quasi-symplectic groupoids and 1-shifted symplectic stacks.

Forma de Avaliação:

A avaliação será realizada através de seminários, projetos e provas. A nota final será calculada pela média obtida pelo aluno nos instrumentos de avaliação. Nas duas primeiras semanas de aula o docente fixará as datas e o número de provas, projetos e seminários, assim como o critério de atribuição do conceito final.

Type of Assessment:

The evaluation will be carried out through seminars, projects and tests. The final grade will be calculated by mean obtained by the student in the assessment instrument. In the first two weeks of class, the teacher will set the dates and number of tests, projects and seminars, as well as the criteria for attributing the final letter grade.

Bibliografia:

- Guillemin, V., Sternberg, S.: Symplectic Techniques in Physics - McDuff, D., Salamon, D.: Introduction to Symplectic Topology , Oxford Math. Monographs, Oxford Univ. Press, 1995

Bibliography:

- Guillemin, V., Sternberg, S.: Symplectic Techniques in Physics - McDuff, D., Salamon, D.: Introduction to Symplectic Topology , Oxford Math. Monographs, Oxford Univ. Press, 1995

Tipo de oferecimento da disciplina:

Presencial

Class type:

Presencial