Disciplina Discipline MAT6680
Tópicos de Anéis e Módulos
Topics on Rings and Modules

Área de Concentração: 45131

Concentration area: 45131

Criação: 29/08/2022

Creation: 29/08/2022

Ativação: 29/08/2022

Activation: 29/08/2022

Nr. de Créditos: 8

Credits: 8

Carga Horária:

Workload:

Docentes Responsáveis:

Professors:

Flavio Ulhoa Coelho

Javier Sanchez Serdà

Objetivos:

Apresentar uma introdução à teoria estrutural de anéis.

Objectives:

The goal of the course is to introduce the student to the structure theory of rings

Justificativa:

Módulos são objetos essenciais no estudo da estrutura de anéis. Nesta disciplina pretende-se apresentar os elementos básicos da teoria dos módulos e algumas aplicações.

Rationale:

Modules are essential objects in the study of structure theory of rings. In this course we present basic module theory and some of its applications.

Conteúdo:

1-Módulos, sub-módulos, homomorfismos, independência linear, produtos, quocientes, somas diretas. Teoremas de isomorfismo. Ideais a esquerda e a direita. 2- Anéis e módulos artinianos e noetherianos. Módulos de comprimento finito. Teoremas de Jordan-Holder e Fitting. Módulos e anéis semisimples. Teorema de Wedderburn-Artin. Teorema de Krull-Schmidt. 3-Sequências exatas. Módulos livres, projetivos, injetivos. 4- Tópicos livres: A) Domínio principais diagonalização de matrizes sob equivalência, fatores invariantes. Teorema de estrutura para módulos finitamente gerados. Aplicação aos casos Z e K[x] (forma de Jordan). B) Radical de Jacobson, Lema de Nakayama, Nilradical de um anel.

Content:

1- Modules, submodules. homomorphisms, linear independence, direct product, quotient modules, direct sum. Isomorphism theorems. Left and right ideals. 2- Artinian and Noetherian rings and modules. Finite length modules. Theorems of Jordan-Holder and Fitting. Semisimple rings and modules. Wedderburn-Artin theorem. Krull-Schmidt Theorem. 3- Exact sequences. Free modules. Projective modules. Injective modules. 4- At the teacher's discretion at least one of the following two blocks will be covered: A) Principal ideal domains. Diagonalization of matrices under equivalence. Invariant factors. Structure Theorem for finitely generated modules over principal ideal domains. Application to abelian groups and modules over K[x] (Jordan form of a linear operator). B) Jacobson radical, Nakayama's Lemma, nilradical of a ring.

Forma de Avaliação:

A avaliação será realizada através de seminários, projetos e provas. A nota final será calculada pela média obtida pelo aluno nos instrumentos de avaliação. Nas duas primeiras semanas de aula o docente fixará as datas e o número de provas, projetos e seminários, assim como o critério de atribuição do conceito final.

Type of Assessment:

The evaluation will be carried out through seminars, projects and tests. The final grade will be calculated by mean obtained by the student in the assessment instrument. In the first two weeks of class, the teacher will set the dates and number of tests, projects and seminars, as well as the criteria for attributing the final letter grade.

Bibliografia:

1- JACOBSON, N. Basic Álgebra. San Francisco, W.H. Freeman, 1974. 2v. 2- POLCINO MILIES, F.C. Anéis e Módulos. São Paulo, IME-USP, 1972. 199p. (Publicações do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo). 3- RIBENBOIM, P. Rings and Modules. New York, Interscience, 1969. 162p. (Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 24). 4- LAM, T. Y. A First Course in Non-commutative Rings, 2nd ed., Springer-Verlag, New York, 2001.

Bibliography:

1- JACOBSON, N. Basic Álgebra. San Francisco, W.H. Freeman, 1974. 2v. 2- POLCINO MILIES, F.C. Anéis e Módulos. São Paulo, IME-USP, 1972. 199p. (Publicações do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo). 3- RIBENBOIM, P. Rings and Modules. New York, Interscience, 1969. 162p. (Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 24). 4- LAM, T. Y. A First Course in Non-commutative Rings, 2nd ed., Springer-Verlag, New York, 2001.

Tipo de oferecimento da disciplina:

Presencial

Class type:

Presencial