Partindo do conhecimento do Cálculo, noções de Álgebra Linear e de Equações Diferenciais, levamos o aluno ao estudo rigoroso das propriedades locais das curvas e superfícies, essenciais e a um posterior estudo de Geometria Diferencial Global.
Curvas planas e no espaço. Teoria local das curvas. Teorema fundamental das curvas. Superfícies, teoria local. Teorema Egregium de Gauss. Teorema fundamental das superfícies.
Curvas Planas: curva parametrizada diferenciável, vetor tangente, curva regular, mudança de parâmetro, comprimento de Arco, teoria local, teorema fundamental.Curvas no Espaço: curva parametrizada diferenciável, vetor tangente, curva regular, mudança de parâmetro, teoria local, fórmulas de Frenet, representação canônica das curvas; isometria de R3, Teorema Fundamental das Curvas, teoria do contato, involutas e evolutas.Aspectos da teoria global das curvas planas, Teorema dos 4 vértices. Desigualdade Isoperimétrica.Teoria Local das Superfícies: superfície parametrizada regular, mudança de parâmetros, plano tangente, vetor normal. Primeira e segunda formas quadráticas. Curvatura normal. Curvaturas principais. Curvatura de Gauss. Curvatura média. Classificação dos pontos de uma superfície. Linhas de curvatura. Linhas assintóticas. Geodésicas. Transporte paralelo. Teorema Egregium de Gauss. Equações de compatibilidade. Teorema fundamental das superfícies.
I. Carmo, M.P.; Elementos de Geometria Diferencial, SBM, 3a edição.II. Rodrígues, L.; Introdução à Geometria Diferencial, 11 CBM, IMPA, 1977.III. Araújo, P. V.; Geometria diferencial. Rio de Janeiro: SBM, CMU.IV. O’Neill, B; Elementary Differential Geometry, Academic Press, 1997.
