Apresentar a noção de processos estocásticos que é central na teoria das probabilidades moderna. Fornecer exemplos elementares e os teoremas centrais em processos estocásticos.
1. Cadeia de Markov (tempo discreto, espaço de estados discreto). 2. Comportamento assintótico de cadeias de Markov. 3. Processo de Poisson (homogêneo). 4. Processos Markovianos (tempo contínuo, espaço de estados discreto). 5. Teoria da Renovação. 6. Outros processos, por exemplo, Filas mais gerais, Martingales (tempo discreto).
1. Cadeia de Markov: construção e definição, matriz de probabilidades de transição. Equação de Kolmogorov-Chapman. Recorrência (positiva e nula) e transiência, periodicidade. Exemplos: passeio aleatório e outros. 2. Comportamento assintótico de cadeias de Markov: distribuição estacionária, medidas invariantes. Tempo médio de recorrência. Convergência via acoplamento. Reversibilidade. Exemplos: processo de ramificação, algoritmos MCMC e outros. 3. Processo de Poisson: definições (construtiva e infinitesimal) do processo de Poisson, relação entre a distribuição Exponencial e o processo de Poisson (distribuição dos tempos entre chegadas). Distribuição condicional de instantes de chegadas, distribuição do tempo da k-ésima chegada. Superposição de processos de Poisson e partição (desbaste) de um processo de Poisson. Paradoxo do tempo de espera. 4. Processos Markovianos: definição da cadeia de Markov em tempo contínuo, matriz de taxas de transição instantâneas. Distribuição de tempos entre os saltos. Equações de Kolmogorov progressivas e regressivas. Distribuição estacionária. Reversibilidade. Exemplos: processo de nascimento e morte, processo de ramificação, filas markovianas e outros. 5. Teoria da renovação: definição, equação de renovação, teoremas limites. Exemplos: filas mais gerais e outros. 6. Outros processos: Filas mais gerais, rede de filas, martingales em tempo discreto (esperança condicional com variáveis aleatórias apenas).
Bibliografia recomendada: 1. Ross, S.M., Introduction to Probability Models, 12th ed., Academic Press, 2019. 2. Durrett, R., Essentials of Stochastic Processes, 3rd ed., Springer, 2016. 3. Brémaud, P., Markov Chain: Gibbs Fields, Monte Carlos Simulation and Queues, 2nd ed.,Springer Verlag, 2020. Bibliografia complementar 1. Grimmett, G.R. & Stirzaker, D.R., Probability and Random Processes, 4th ed., Oxford University Press, 2020. 2. Çınlar, E., Introduction to stochastic processes. DoverPublication, 2013. 3. Häggström, O., Finite Markov Chains and Algorithmic Applications, Cambridge University Press, 2002. 4. Ross, S.M., Stochastic processes. 2nd ed., Wiley, 1996. 5. Pinsky, M. & Karlin, S., An introduction to stochastic modeling. Academic Press, 2010.
