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Júpiter - Sistema de Gestão Acadêmica da Pró-Reitoria de Graduação


Instituto de Matemática e Estatística
 
Matemática
 
Disciplina: MAT0234 - Medida e Integração
Measure and Integration

Créditos Aula: 4
Créditos Trabalho: 0
Carga Horária Total: 60 h
Tipo: Semestral
Ativação: 01/01/2022 Desativação:

Objetivos
Introduzir os conceitos de medida e integração e apresentar aplicações.
 
 
 
Docente(s) Responsável(eis)
2016471 - Vitor de Oliveira Ferreira
 
Programa Resumido
Medida de Lebesgue, espaços de medida, integral de Lebesgue, medidas produto, espaços L^p.
 
 
 
Programa
1) Medida de Lebesgue em R^n.
2) Espaços de medida; funções mensuráveis e integração; Lema de Fatou; Teorema da convergência monótona; Teorema de convergência dominada.
3) A relação da integral de Lebesgue na reta com a integral de Riemann e com a integral imprópria de Riemann.
4) Aplicação do teorema de convergência dominada: derivação sob o sinal de integral. 
5) Medidas produto e Teoremas de Fubini e Tonelli. 
6) Espaços L^p; desigualdades de Hölder e Minkowski; completude dos espaços L^p. 
7) Modos de convergência (relações entre convergência em L^p, em medida, quase sempre e quase uniforme). Teoremas de Lusin e Egorov. 
8) Tópicos adicionais (ao menos um desses tópicos deve ser abordado):
a) Transformada de Fourier; produto de convolução; aplicações a EDP.
b) Teorema de Vitali; funções de variação limitada; funções absolutamente contínuas e teorema fundamental do cálculo.
c) Teorema de mudança de variável para integrais de Lebesgue em R^n. 
d) Tópico opcional livre a critério do docente.
 
 
 
Avaliação
     
Método
Aulas teóricas e de exercícios.
Critério
Média ponderada de provas e exercícios.
Norma de Recuperação
Cada docentes (ou equipe), deverá decidir qual o peso p onde 1<=p<=4. A média final, será média ponderada da nota do semestre com a da recuperação com o peso acima.
 
Bibliografia
     
1) C.S. Hönig, A Integral de Lebesgue e suas Aplicações, 11 Colóquio Brasileiro de Matemática, 1977. 
2) H.L. Royden, Real Analysis, 3 ed. Prentice Hall, 1988. 
3) R.G. Bartle, Elements of Integration and Lebesgue Measure, Wiley Classics Library Edition pubished 1995 (John Wiley & Sons, Inc, 1966). 
4) W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd ed., McGraw Hill, Inc, 1986.
5) G. Folland, Real Analysis. Modern techniques and their applications, 2nd Ed., John Wiley & Sons, New York, 1999.
 

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