Introduzir os conceitos de medida e integração e apresentar aplicações.
Medida de Lebesgue, espaços de medida, integral de Lebesgue, medidas produto, espaços L^p.
1) Medida de Lebesgue em R^n. 2) Espaços de medida; funções mensuráveis e integração; Lema de Fatou; Teorema da convergência monótona; Teorema de convergência dominada. 3) A relação da integral de Lebesgue na reta com a integral de Riemann e com a integral imprópria de Riemann. 4) Aplicação do teorema de convergência dominada: derivação sob o sinal de integral. 5) Medidas produto e Teoremas de Fubini e Tonelli. 6) Espaços L^p; desigualdades de Hölder e Minkowski; completude dos espaços L^p. 7) Modos de convergência (relações entre convergência em L^p, em medida, quase sempre e quase uniforme). Teoremas de Lusin e Egorov. 8) Tópicos adicionais (ao menos um desses tópicos deve ser abordado): a) Transformada de Fourier; produto de convolução; aplicações a EDP. b) Teorema de Vitali; funções de variação limitada; funções absolutamente contínuas e teorema fundamental do cálculo. c) Teorema de mudança de variável para integrais de Lebesgue em R^n. d) Tópico opcional livre a critério do docente.
1) C.S. Hönig, A Integral de Lebesgue e suas Aplicações, 11 Colóquio Brasileiro de Matemática, 1977. 2) H.L. Royden, Real Analysis, 3 ed. Prentice Hall, 1988. 3) R.G. Bartle, Elements of Integration and Lebesgue Measure, Wiley Classics Library Edition pubished 1995 (John Wiley & Sons, Inc, 1966). 4) W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd ed., McGraw Hill, Inc, 1986. 5) G. Folland, Real Analysis. Modern techniques and their applications, 2nd Ed., John Wiley & Sons, New York, 1999.