Apresentar ao aluno alguns conceitos e resultados centrais da Matemática tais como subvariedades Riemannianas, curvaturas, geodésicas, transportes paralelos, entre outros. Tais resultados em geral são ilustrados em superfícies com o intuito de estimular a intuição dos alunos e diminuir certas tecnalidades. Porém ao final da disciplina espera-se que os alunos tenham compreendido que parte do que aprenderam não depende da dimensão baixa ou do espaço Euclidiano e que a disciplina é apenas o início de uma longa jornada que poderá envolver, entre outras, as áreas de Topologia, Dinâmica, Grupos e Simetrias, Equações Diferenciais, Calculo das Variações, além de suas aplicações à Física, em particular a Mecânica.
(1) Rápido estudo sobre curvas em R3: Equações de Frenet, curvatura, torsão e Teorema fundamental das curvas. (2) Estudo local das superfícies no R3: Formas fundamentais, curvaturas e direções principais, curvatura de Gauss e curvatura média. (3) Conexão Riemanniana: Definição de conexão Riemanniana em superfícies mergulhadas e das 1-formas de conexão, transporte paralelo. (4) Geodésicas: Definição de geodésica, aplicação exponencial e Lema de Gauss. (5) Curvatura: Definição do tensor curvatura e enunciado de algumas propriedades, equação de Gauss e o teorema Egregium, equações Estruturais, teorema fundamental das imersões isométricas (para superfícies). (6) Teorema de Gauss-Bonnet: enunciado, demonstração e aplicações.
- M.P. Carmo, Differential Geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall, 1976. - M.P. Carmo, Geometria Riemanniana, Projeto Euclides IMPA, 1988. - Gray Modern Differential Geometry of curves and surfaces CRC, Press Inc, 2000. - W. Kuhnel, Differential Geometry: Curves-Surfaces-Manifolds. American Mathematical Society, Second Edition, 2005. - O'Neil, Elementary Differential Geometry. Academic Pres 1966.
