O curso pretende mostrar aplicações de álgebra linear em engenharia, propondo problemas que os alunos devem solucionar usando ferramentas e conceitos de álgebra linear e programação em Matlab.
Familiarização com o Matlab. Solução de sistemas de equações lineares. Transformações lineares. Determinantes. Autovalores e Autovetores. Método dos mínimos quadrados. Decomposição em valores singulares.
As aulas da disciplina consistem em uma parte teórica e em uma parte prática. Na parte teórica, serão revisados alguns conceitos vistos nas disciplinas de Álgebra Linear e introduzidos conceitos novos, com ênfase nas aplicações. Na parte prática, os alunos resolverão exercícios computacionais com o Matlab. No programa que segue, são apresentadas possíveis aplicações para cada tópico, sendo que algumas delas serão enfatizadas nos exercícios computacionais do curso. 1- Familiarização com o Matlab. Manipular de forma eficiente vetores e matrizes; apresentação de resultados de forma gráfica.2- Sistemas de equações lineares. (i) Como as leis básicas de circuitos elétricos podem ser usadas para obter sistemas de equações lineares cujas soluções fornecem as correntes e/ou tensões de um circuito elétrico; (ii) Como obter a distribuição da temperatura de equilíbrio em uma placa quando especificadas as temperaturas ao longo das arestas da placa; (iii) Solução aproximada de um sistema linear com técnica iterativa: a construção da imagem de um corte transversal de um corpo humano a partir da análise do escaneamento por raios; (iv) Como responder algumas questões em Economia usando os modelos de troca de Leontief.3- Transformações lineares. (i) aplicações em computação gráfica: como a imagem de um objeto tridimensional é exibida em um monitor de vídeo e como a álgebra matricial pode ser usada para obter novas imagens do objeto através de rotação, translação e mudança de escala; (ii) Uso de transformações lineares para distorcer imagens; (iii) Uso de classes de transformações lineares para descrever e gerar fractais no plano euclidiano; (iv) Uso da transformação quadrado unitário do plano xy sobre si mesmo para introduzir o conceito de caos. 4- Determinantes. Aplicações em geometria analítica: (i) cálculo de área e volume; (ii) como determinantes podem ser usados para encontrar equações de reta, círculos, seções cônicas, esferas e superfícies quadráticas.5- Autovalores e autovetores. Aplicações em sistemas dinâmicos: (i) como investigar a estabilidade de um sistema linear mecânico ou elétrico com realimentação. (ii) genética: como investigar a propagação de uma característica herdada em sucessivas gerações calculando potências de matrizes. (iii) como investigar o crescimento de uma dada população e determinar o limite da distribuição etária e da taxa de crescimento. 6- Método dos mínimos quadrados. Ajuste de curvas a dados reais: aplicações em economia, astronomia, física, esporte, etc.7- Decomposição em valores singulares (SVD – singular value decomposition). Aplicações em processamento de imagens e voz: (i) como usar a SVD para comprimir uma imagem; (ii) como usar a SVD para melhorar a razão sinal-ruído de sinais de voz.
[1] David C. Lay: Linear algebra and its applications, 4th edition, Pearson, 2012[2] Howard Anton, Chris Rorres: Elementary linear algebra: applications version, 11th edition, Wiley, 2013[3] Carl D. Meyer: Matrix analysis and applied linear algebra, Cambridge University Press, 2000.Bibliografia Complementar[4] I. Camargo, P. Boulos: Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 3a edição, Prentice Hall, 2005[5] M. Barone Jr.: Álgebra linear, 3a edição, Publicações do IME, São Paulo, 1988[6] C. Callioli, H. Domingues, R. C. F. Costa: Álgebra linear e aplicações, Atual editora, 1998