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Júpiter - Sistema de Gestão Acadêmica da Pró-Reitoria de Graduação


Escola Politécnica
 
Eng de Sistemas Eletrônicos
 
Disciplina: PSI3260 - Aplicações de Álgebra Linear
Applications of Linear Algebra

Créditos Aula: 2
Créditos Trabalho: 0
Carga Horária Total: 30 h
Tipo: Semestral
Ativação: 01/01/2015 Desativação:

Objetivos
O curso pretende mostrar aplicações de álgebra linear em engenharia, propondo problemas que os alunos devem solucionar usando ferramentas e conceitos de álgebra linear e programação em Matlab.
 
To present applications of linear algebra to engineering, proposing problems which the students must solve using tools and concepts of linear algebra and Matlab.
 
 
Docente(s) Responsável(eis)
1488469 - Magno Teófilo Madeira da Silva
1311468 - Maria das Dores dos Santos Miranda
63599 - Vitor Heloiz Nascimento
 
Programa Resumido
Familiarização com o Matlab. Solução de sistemas de equações lineares. Transformações lineares. Determinantes. Autovalores e Autovetores. Método dos mínimos quadrados. Decomposição em valores singulares.
 
Getting started with Matlab. Solutions of systems of linear equations. Linear transformations. Determinants. Eigenvalues and eigenvectors. Least squares method. Singular value decomposition.
 
 
Programa
As aulas da disciplina consistem em uma parte teórica e em uma parte prática. Na parte teórica, serão revisados alguns conceitos vistos nas disciplinas de Álgebra Linear e introduzidos conceitos novos, com ênfase nas aplicações.  Na parte prática, os alunos resolverão exercícios computacionais com o Matlab. No programa que segue, são apresentadas possíveis aplicações para cada tópico, sendo que algumas delas serão enfatizadas nos exercícios computacionais do curso. 
1- Familiarização com o Matlab. Manipular de forma eficiente vetores e matrizes; apresentação de resultados de forma gráfica.
2- Sistemas de equações lineares. (i) Como as leis básicas de circuitos elétricos podem ser usadas para obter sistemas de equações lineares cujas soluções fornecem as correntes e/ou tensões de um circuito elétrico; (ii) Como obter a distribuição da temperatura de equilíbrio em uma placa quando especificadas as temperaturas ao longo das arestas da placa; (iii) Solução aproximada de um sistema linear com técnica iterativa: a construção da imagem de um corte transversal de um corpo humano a partir da análise do escaneamento por raios; (iv) Como responder algumas questões em Economia usando os modelos de troca de Leontief.
3- Transformações lineares. (i) aplicações em computação gráfica: como a imagem de um objeto tridimensional é exibida em um monitor de vídeo e como a álgebra matricial pode ser usada para obter novas imagens do objeto através de rotação, translação e mudança de escala; (ii) Uso de transformações lineares para distorcer imagens; (iii) Uso de classes de transformações lineares para descrever e gerar fractais no plano euclidiano; (iv) Uso da transformação quadrado unitário do plano xy sobre si mesmo para introduzir o conceito de caos.
4- Determinantes. Aplicações em geometria analítica: (i) cálculo de área e volume; (ii) como determinantes podem ser usados para encontrar equações de reta, círculos, seções cônicas, esferas e superfícies quadráticas.
5- Autovalores e autovetores. Aplicações em sistemas dinâmicos: (i) como investigar a estabilidade de um sistema linear mecânico ou elétrico com realimentação. (ii) genética: como investigar a propagação de uma característica herdada em sucessivas gerações calculando potências de matrizes. (iii) como investigar o crescimento de uma dada população e determinar o limite da distribuição etária e da taxa de crescimento.
6- Método dos mínimos quadrados. Ajuste de curvas a dados reais: aplicações em economia, astronomia, física, esporte, etc.
7- Decomposição em valores singulares (SVD – singular value decomposition). Aplicações em processamento de imagens e voz: (i) como usar a SVD para comprimir uma imagem; (ii) como usar a SVD para melhorar a razão sinal-ruído de sinais de voz.
 
The classes in this course consist of a theoretical part and a practical part. In the theoretical part, concepts of Linear Algebra will be revisited and some new concepts will be introduced with emphasis in applications. In the practical part, the students will solve computational exercises with Matlab. In the following topics, we present possible applications, some of which may be used in the computational exercises of the course.
1- Getting started with Matlab. Efficient manipulation of vectors and matrices; how to present the results graphically.
2- Systems of linear equations. (i) how the basic laws of electric circuits can be used to obtain systems of linear equations, whose solutions give the currents and/or voltages of an electric circuit; (ii) how to determine the temperature at interior points of a plate given the temperature along the edges, assuming that the system is at equilibrium; (iii) approximate solution of a linear system using an iterative technique: building an image of a cross section of a human body from the analysis of X-ray scans; (iv) how to answer economic questions, using Leontief exchange model.
3- Linear transformations. (i) applications in computer graphics: how the image of a 3D object is shown in a video monitor and how matrix algebra can be used to get new images using rotation, translation, and scale changes; (ii) use of linear transformations to distort images; (iii) use of some linear transformations to describe and build fractals in the Euclidian plane; (iv) use of the unit square transformation of the xy plane to introduce the concept of chaos.
4- Determinants. Applications in analytical geometry. (i) calculus of areas and volumes; (ii) how determinants may be used to find the equations for lines, circles, conic sections, planes, spheres, and quadratic surfaces.
5- Eigenvalues and Eigenvectors. Applications in dynamical systems: (i) how to investigate the stability of a linear mechanical or electrical system with feedback. (ii) genetics: how to investigate the spread of a characteristic inherited in successive generations by calculating powers of matrices; (iii) how to investigate the growth of a population and to determine the age distribution and the growth rate.
6- Least squares method. How to adjust curves to real data: applications in Economy, Astronomy, Physics, Sports, etc.
7- Singular value decomposition. Applications in image and speech processing: (i) how to use SVD to compress an image; (ii) how to use SVD for speech enhancement.
 
 
Avaliação
     
Método
Exercícios de aplicação, testes e provas escritas.
Critério
Média de testes e provas escritas.
Norma de Recuperação
Uma prova escrita.
 
Bibliografia
     
[1] David C. Lay: Linear algebra and its applications, 4th edition, Pearson, 2012
[2] Howard Anton, Chris Rorres: Elementary linear algebra: applications version, 11th edition, Wiley, 2013
[3] Carl D. Meyer: Matrix analysis and applied linear algebra, Cambridge University Press, 2000.
Bibliografia Complementar
[4] I. Camargo, P. Boulos: Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 3a edição, Prentice Hall, 2005
[5] M. Barone Jr.: Álgebra linear, 3a edição, Publicações do IME, São Paulo, 1988
[6] C. Callioli, H. Domingues, R. C. F. Costa: Álgebra linear e aplicações, Atual editora, 1998
 

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