Jupiterweb

Informações da Disciplina

Preparar para impressão

Júpiter - Sistema de Gestão Acadêmica da Pró-Reitoria de Graduação

Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação

Matemática

Disciplina: SMA0173 - Álgebra III

Algebra III

Créditos Aula:	4
Créditos Trabalho:	0
Carga Horária Total:	60 h
Tipo:	Semestral
Ativação:	01/01/2009	Desativação:

Objetivos

Dar ao aluno de graduação uma introdução à Teoria de Galois com especial ênfase ao caso em que o corpo de base são os racionais. Deve-se enfatizar o Teorema Fundamental de Galois e a discussão da solubilidade de equações algébricas por radicais. Para isso deve-se exibir vários exemplos e calcular explicitamente alguns grupos de Galois de equações simples.

The main goal of this course is to give an introduction to Galois theory at the level of beginning graduate students, stressing the case when the ground field is the field of the rational numbers. Special emphasis is given to the fundamental theorem of Galois theory and to the applications of Galois theory to the solvability by radicals of algebraic equations. To this end it is necessary to present several examples and to compute explicitely the Galois group of simple algebraic equations.

Programa Resumido

Anel de polinômios sobre um corpo (revisão). Critérios de irredutibilidade, critério de Einsenstein e outros. Extensões de corpos, grau de uma extensão. Números algébricos e transcendentes, extensões simples algébricas e transcendentes, classificação das extensões simples.  Construção com régua e compasso, impossibilidades.Extensões normais e separáveis, corpo de raízes de um polinômio, independência linear de monomorfismos (Dedekind), o fecho normal de uma extensão. O Teorema Fundamental da Teoria de Galois. Grupos solúveis. Grupos simples, a simplicidade de A_n, para n maior ou igual a 5.  O teorema de Cauchy. Solubilidade por radicais, extensões radicais, as soluções por radicais de equações polinomiais de grau menor ou igual a 4, a insolubilidade da quintica.

Polynomial rings over a field. Irreducibility criteria, Eisenstein criterium and other similar results. Field extensions and degree of an extension. Algebraic and transcendental numbers, simple algebraic and transcendental extensions, classification of simple extensions. Constructions with ruler and compass. Normal and separable extensions, field of roots of a polynomial, linear independence of monomorphisms (Dedekind), nornal closure of an extension.
The fundamental theorem of Galois theory. Solvable groups. Simple groups and simplicity of the alternating group A_n, for greater or equal to 5. Cauchy theorem . Solvability by radicals, radical extensions, solution by radicals of polynomial equations of degree less or equal to 4. Failure of solvability by radicals of an equation of degree greater or equal to 5.

Programa

Anel de polinômios sobre um corpo (revisão). Critérios de irredutibilidade, critério de Einsenstein e outros. Extensões de corpos, grau de uma extensão. Números algébricos e transcendentes, extensões simples algébricas e transcendentes, classificação das extensões simples.  Construção com régua e compasso, impossibilidades.Extensões normais e separáveis, corpo de raízes de um polinômio, independência linear de monomorfismos (Dedekind), o fecho normal de uma extensão. O Teorema Fundamental da Teoria de Galois. Grupos solúveis. Grupos simples, a simplicidade de A_n, para n maior ou igual a 5.  O teorema de Cauchy. Solubilidade por radicais, extensões radicais, as soluções por radicais de equações polinomiais de grau menor ou igual a 4, a insolubilidade da quintica.

Polynomial rings over a field. Irreducibility criteria, Eisenstein criterium and other similar results. Field extensions and degree of an extension. Algebraic and transcendental numbers, simple algebraic and transcendental extensions, classification of simple extensions. Constructions with ruler and compass. Normal and separable extensions, field of roots of a polynomial, linear independence of monomorphisms (Dedekind), normal closure of an extension.
The fundamental theorem of Galois theory. Solvable groups. Simple groups and simplicity of the alternating group A_n, for greater or equal to 5. Cauchy theorem. Solvability by radicals, radical extensions, solution by radicals of polynomial equations of degree less or equal to 4. Failure of solvability by radicals of an equation of degree greater or equal to 5.

Avaliação

Método

Exposição em aulas e fixação através de exercícios, com a orientação do professor.

Critério

Avaliação por meio de provas escritas, trabalhos e seminários.

Norma de Recuperação

Número de provas: no mínimo uma (01) e no máximo duas (02) provas.
Critério de aprovação: a nota final (MF) do aluno que realizou provas de recuperação dependerá da média do semestre (MS) e da média das provas de recuperação (MR), como segue:
MF=5 se 5 <= MR <= 10 - MS;
MF = (MS + MR) / 2 se MR > 10 - MS
MF = MS se MR < 5.

Bibliografia

Livro texto: 
. Stewart, Ian Galois Theory, Third Edition. Chapman & Hall/CRC Mathematics. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2004.

Complementares:
. Rotman, Joseph Galois theory. Universitext. Springer-Verlag, New York, 1998. 
. Hungerford, Thomas W. Algebra. Graduate Texts in Mathematics, 73. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1980.

Clique para consultar os requisitos para SMA0173

Clique para consultar o oferecimento para SMA0173