Apresentar ao estudante de Matemática um primeiro curso de Geometria Diferencial, discutindo propriedades locais e algumas propriedades intrínsecas de superfícies.
1. Funções reais de várias variáveis. 2. Aplicações diferenciáveis. 3. Teoria local de superfícies. 4. Aplicação de Gauss. 5. Geometria intrínseca de superfícies. 6. Formas harmônicas e o teorema de Hodge.
1. Funções reais de várias variáveis: derivadas parciais, teorema de Schwarz, pontos críticos, gradiente, teorema da função implícita (sem demonstração). 2. Aplicações diferenciáveis: definição, exemplos, diferencial e teorema da aplicação inversa (sem demonstração). 3. Definição e exemplos de superfícies em R3, Superfícies como pré-imagem de valor regular, Plano tangente, Aplicações diferenciáveis entre superfícies. 4. Aplicação de Gauss; Curvatura normal; Curvaturas principais; Curvatura Gaussiana; Interpretação o geométrica da curvatura Gaussiana; Isometrias e o teorema Egregium de Gauss; Teorema Fundamental das superfícies (sem demonstração). 5. Derivada covariante; Transporte paralelo; Teorema de Gauss-Bonnet e aplicações; Geodésicas e a aplicação exponencial. 6. Conexão de Levi-Civita de uma superfície; Tensor de curvatura; Divergente e gradiente; Operador de Laplaci-Beltrami; Formas harmônicas; Lema de Hopf; Teorema de Hodge.
Livros textos M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, 1976. B. O'Neill, Elementary Differential Geometry. Academic Press, 2006. F. W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1983. J. M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics {\bf 218}, Springer, 2013 Bibliografia complementar: S. Montiel, A. Ros, Curvas y superfícies. Proyecto Sur, 1997. J. Jost, Riemennian Geometry and Geometric Analysis. Universitext, Springer, 2008.
