Essa disciplina consiste em uma introdução simples à Topologia Diferencial, culminando com resultados na fronteira da geometria e da topologia de superfícies. As ferramentas introduzidas são essenciais ao estudo da geometria e também possuem aplicações em diversas outras áreas da Matemática.
(1) Superfícies (2) Orientação em superfícies (3) Teoria do grau (4) A característica de Euler (5) Introdução à teoria de Morse
(1) Superfícies: Definição e exemplos de superfícies; O espaço tangente; Aplicações diferenciáveis entre superfícies; As formas locais; Subvariedades; O teorema de Sard; Transversalidade. (2) Orientação em superfícies: Superfícies orientáveis; Superfícies com fronteira; Orientação induzida na fronteira; O teorema do ponto fixo de Brouwer. (3) Teoria do grau: Aplicações homotópicas; o grau módulo 2; O grau de uma aplicação; Número de interseção. (4) A característica de Euler: Campos vetoriais; O índice de um campo vetorial; A característica de Euler, O teorema da curvatura integral. (5) Introdução à teoria de Morse: Funções de Morse; O fluxo do gradiente; A topologia dos conjuntos de nível; O teorema de Morse; O teorema de Reeb.
(1) J. W. Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint, Princeton University Press, 1997. (2) V. Guillemin, A. Pollack, Differential topology, AMS Chelsea Publishing, 2000. (2) Y. Matsumoto, An Introduction to Morse Theory, Translations of Mathematical Monographs, vol. 208. Complemetar: M. W. Hirsch, Differential Topology, Springer, GTM, vol. 33, 1976.
