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Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação
 
Matemática
 
Disciplina: SMA0378 - Formas Diferenciais e Aplicações
Differential Forms and Applications

Créditos Aula: 4
Créditos Trabalho: 0
Carga Horária Total: 60 h
Tipo: Semestral
Ativação: 01/01/2023 Desativação: 14/07/2024

Objetivos
Essa disciplina tem por objetivo apresentar ao estudante a estrutura algébrica das formas diferenciais em superfícies, de maneira que os teoremas de Stokes e de Poincaré, que são os resultados principais de formas diferenciais, sejam demonstrados no seu ambiente natural.
 
 
 
Programa Resumido
Álgebra multilinear; Formas diferenciais; Cohomologia de de Rham em R^n; Aplicaçõees da Cohomologia de de Rham.
 
 
 
Programa
Formas lineares; Produto exterior de formas lineares; Exemplos: determinante, produto vetorial, forma de volume; Identidade de Lagrange.
Formas diferenciais em R^n; Produto wedge, derivada exterior e pull-back. 
Formas fechadas e exatas em R^n; O k-ésimo grupo de cohomologia de de Rham; Lema de Poincaré; Sequência exata de complexos de cadeias; Sequência exata longa; Invariância homotópica da cohomologia de de Rham.
Teorema do ponto fixo de Brouwer; Teorema da esfera cabeluda; Teorema de separação de Jordan-Brouwer; Teorema da invariância do domínio.
 
 
 
Avaliação
     
Método
Exposição em aulas e fixação através de exercícios, com a orientação do professor.
Critério
Avaliação por meio de provas escritas, trabalhos e seminários.
Norma de Recuperação
Número de provas: no mínimo uma (01) e no máximo duas (02) provas. Critério de aprovação: a nota final (MF) do aluno que realizou provas de recuperação dependerá da média do semestre (MS) e da média das provas de recuperação (MR), como segue: MF=5 se 5 <= MR <= 10 - MS; MF = (MS + MR) / 2 se MR > 10 - MS MF = MS se MR < 5.
 
Bibliografia
     
1. I. Madsen, J. Tornehave, From Calculus to Cohomology: de Rham Cohomology and Characteristic Classes. Cambridge University Press, 1997.
2. J. M. Lee, Introduction to Topological Manifolds. Graduate Texts in Mathematics, Springer, 2010.
3. G. E. Bredon, Topology and geometry. Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, New York-Berlin, 1993.
4. M. P. do Carmo, Differential Forms and Applications. Universitext, 1994.
 

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