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Júpiter - Sistema de Gestão Acadêmica da Pró-Reitoria de Graduação


Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação
 
Matemática Aplicada e Estatística
 
Disciplina: SME0243 - Teoria Espectral de Matrizes
Spectral Theory of Matrices

Créditos Aula: 4
Créditos Trabalho: 0
Carga Horária Total: 60 h
Tipo: Semestral
Ativação: 01/01/2024 Desativação:

Objetivos
O curso tem como objetivo introduzir aos alunos o conceito de teoria espectral de matrizes e subespaços associados. Conceitos importantes no contexto de matemática aplicada como decomposição em valores singulares e análise de componentes principais também são abordados no curso.
 
The course aims to introduce the concept of spectral theory of matrices and associated subspaces. Important concepts in the context of applied mathematics such as singular value decomposition and principal component analysis are also covered in the course.
 
 
Docente(s) Responsável(eis)
3223814 - Luis Gustavo Nonato
 
Programa Resumido
Revisão de conceitos básicos de álgebra linear; Teorema espectral e subespaços associados; Formas quadráticas e relação com autovalores e autovetores; decomposição em valores singulares e subespaços associados; Análise de componentes principais.
 
Review of basic concepts in linear algebra; Spectral theorem and associated subspaces; Quadratic forms and its relation with eigenvalues and eigenvectors; singular value decomposition and associated subspaces; Principal component analysis.
 
 
Programa
1) Revisão de transformações lineares, matrizes, ortogonalidade, núcleo e imagem, autovalores e autovetores.
2) Matrizes simétricas e teorema espectral
3) Representação de matrizes simétricas como soma de projeções de posto um
4) Formas quadrádicas
5) Princípios de minimax e coeficiente de Rayleigh
6) Decomposição em valores singulares – SVD
7) Interpretação geométrica de operadores lineares
8) Aproximação de matrizes com posto reduzido
9) Análise de componentes principais
10) Moore-Penrose pseudo-inversa 
11) Ângulo entre subespaços

Atividades de extensão: Apresentação para a comunidade de problemas de interesse geral que correspondem a 15 horas de atividades de extensão.
 
1) Review of linear transformations, matrices, orthogonality, kernel and image; eigenvalues and eigenvectors. 2) Symmetric matrices and spectral theorem 3) Representing symmetric matrices as sum of rank one projections 4) Quadratic forms 5) Minimax principle and Rayleigh coefficient 6) Singular Value Decomposition – SVD 7) Geometric interpretation of linear operators 8) Low rank matrix approximation 9) Principal component analysis 10) Moore-Penrose pseudo-inverse 11) Angle between subspaces Extension activities: Presentation to the community of problems of general interest that correspond to 15 hours of extension activities.
 
 
Avaliação
     
Método
Exposição seguida de exercícios e trabalhos práticos dentro e fora de classe.
Critério
Serão atribuídas notas a provas e trabalhos práticos, executados alguns em classe e outros fora de classe. A nota final será calculada por média ponderada das notas obtidas pelo aluno no decorrer do semestre.
Norma de Recuperação
Número de provas: no mínimo uma (01) e no máximo duas (02) provas.
Critério de aprovação: a nota final (MF) do aluno que realizou provas de recuperação dependerá da média do semestre (MS) e da média das provas de recuperação (MR), como segue:
• MF = 5 se 5 <= MR <= (10 - MS)
• MF = (MS + MR) / 2 se MR > (10 - MS)
• MF = MS se MR< 5
 
Bibliografia
     
- Gilbert Strang, Álgebra Linear e Suas Aplicações, CENGAGE LEARNING, 2001
- Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra Book and Solutions Manual, SIAM, 2001
- Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right (Undergraduate Texts in Mathematics), Springer 2004
 

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